韦达定理公式介绍及典型例题
2022-12-16
韦达定理公式介绍及典型例题
韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX²;+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1.X2=c/a
【定理内容】
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则
X1+X2= -b/a
X1.X2=c/a
1/X1+1/X2=X1+X2/X1.X2
用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²;+bx+c=0 (a≠0)中，
若b²;-4ac<0 则方程没有实数根
若b²;-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
若b²;-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
【定理拓展】
(1)若两根互为相反数，则b=0
(2)若两根互为倒数，则a=c
(3)若一根为0，则c=0
(4)若一根为1，则a+b+c=0
(5)若一根为-1，则a-b+c=0
(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根
【例题】
已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)
解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2.由韦达定理，得
x1+x2=-p，x1x2=q.
于是x1.x2-(x1+x2)=p+q=198，
即x1.x2-x1-x2+1=199.
∴运用提取公因式法(x1-1).(x2-1)=199.
注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数，
解得x1=2，x2=200;x1=-198，x2=0.
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