(1)填表:n(凸多边形的边数)345…m(凸多边形中角度等
2023-01-06
【题目】(1)填表:
n(凸多边形的边数)
3
4
5
…
m(凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值)
…
(2)猜想给定一个正整数n,凸n边形最多有m个内角等于135°,则m与n之间有怎样的关系?
(3)取n=7验证你的猜想是否成立?如果不成立,请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°?并说明理由
【答案】(1)∵三角形中只有一个钝角,
∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1;
∵四边形的内角和为360°,
∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2;
∵五边形的内角和为540°,
∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3;
故答案为:1,2,3;
(2)由(1)得:凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为:n-2.
即m=n-2;
(3)取n=7时,m=6,验证猜想不成立;
设凸n边形最多有m个内角等于135°,则每个135°内角的外角都等于45°,
∵凸n边形的n个外角和为360°,
∴k≤360÷45=8,只有当n=8时,m才有最大值8,
讨论n≠8时的情况:
(1)当时n>8,显然,m的值是7;
(2)当n=3,4,5时,m的值分别为1,2,3;
(3)当n=6,7时,m的值分别为5,6;
综上所述,当3≤n≤5时,凸n边形最多有n-2个内角等于135°;当6≤n≤7时,凸n边形最多有n-1个内角等于135°;当n=8时,凸n边形最多有8个内角等于135°;当n>8时,凸n边形最多有7个内角等于135°。
【解析】(1)根据三角形、四边形、五边形的内角和,可求得答案;
(2)根据(1)可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为:n-2;
(3)设凸n边形最多有m个内角等于135°,则每个135°内角的外角都等于45°,由凸n边形的n个外角和为360°,可得k≤360÷45=8,只有当n=8时,m才有最大值8,即可得当3≤n≤5时,凸n边形最多有n-2个内角等于135°;当6≤n≤7时,凸n边形最多有n-1个内角等于135°;当n=8时,凸n边形最多有8个内角等于135°;当n>8时,凸n边形最多有7个内角等于135°。
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