二元一次方程的解法

2022-12-16

二元一次方程的解法：认识二元一次方程组的有关概念，会把一些简单的实际问题中的数量关系，用二元一次方程组的形式表示出来，学会用含有其中一个未知数的代数式表示另一个的方法。下面小编整理了二元一次方程的解法，供大家参考。

代入消元

(1)概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.

(2)代入法解二元一次方程组的步骤。

①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数;

②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程(在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. );

③解这个一元一次方程，求出未知数的值;

④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值;

⑤用{联立两个未知数的值，就是方程组的解;

⑥最后检验(代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边).

例题：

{x-y=3 ①

{3x-8y=4②

由①得x=y+3③

③代入②得

3(y+3)-8y=4

y=1

把y=1带入③

得x=4

则：这个二元一次方程组的解

{x=4

{y=1

加减消元

(1)概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.[5]

(2)加减法解二元一次方程组的步骤

①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式;

②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程(一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法);

③解这个一元一次方程，求出未知数的值;

④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值;

⑤用{联立两个未知数的值，就是方程组的解;

⑥最后检验求得的结果是否正确(代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边)。

如：

{5x+3y=9①

{10x+5y=12②

把①扩大2倍得到③

10x+6y=18

③-②得：

10x+6y-(10x+5y)=18-12

y=6

再把y=带入①.②或③中

解之得:{x=-1.8

{y=6

重点难点

本节重点内容是二元一次方程组的概念以及如何用代入法和加减法解二元一次方程组，难点是根据方程的具体形式选择合适的解法。

编辑本段方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的两个公共解，叫做一组二元一次方程组的解。

二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。

但二元一次方程组只有唯一的一组解，即x,y的值只有一个。也有特殊的，例如无数个解：

{3X+4y=12 {x-y=2

{6X+8Y=24 {x+y=3

无解：

{3x+4Y=18

{4Y+3X=24

消元法

消元是解二元一次方程的基本思路。所谓消元就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8[6]

消元方法

代入消元法,(常用)

加减消元法,(常用)

顺序消元法,(这种方法不常用)

顺序是对的

例子

╭x-y=3 ①

〈

╰3x-8y=4②

由①得x=y+3③

③代入②得

3(y+3)-8y=4

y=1

所以x=4

则：这个二元一次方程组的解

╭x=4

〈

╰y=1

编辑本段教科书中没有的,但比较适用的几种解法:　(一)加减-代入混合使用的方法.

例1,13x+14y=41 (1)

14x+13y=40 (2)

解:(2)-(1)得

x-y=-1

x=y-1 (3)

把(3)代入(1)得

13(y-1)+14y=41

13y-13+14y=41

27y=54

y=2

把y=2代入(3)得

x=1

所以:x=1,y=2

最后 x=1 ， y=2，解出来

特点：两方程相加减，得到单个x或单个y，适用接下来的代入消元。

(二)代入法

是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程带入另一个方程中

如：

x+y=590

y+20=90%x

带入后就是：

x+90%x-20=590

例2，(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可写为

m+n=8

m-n=4

解得m=6,n=2

所以x+5=6,y-4=2

所以x=1,y=6

特点：两方程中都含有相同的代数式(x+5，y-4)，换元后可简化方程。

(三)另类换元

例3，x:y=1:4

5x+6y=29

令x=t,y=4t

方程2可写为：5t+24t=29

29t=29

t=1

所以x=1,y=4

换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。[7]

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

比如(x+y)/2-(x-y)/3=6

3(x+y)=4(x-y)

解：设x+y为a,x-y为b

原=a/2-b/3=6①

3a=4b②

①6 得3a-2b=36③

把②代入③ 得2b=36 b=18

把b=18代入②得a=24

所以x+y=24④

x-y=18⑤

④-⑤得 2y=6 y=3

把y=3代入④得 x=21

x=21

是方程组的解

y=3

整体代入

比如2x+5y=15①

85-7y=2x②

解：把②代入①得

85-7y+5y=15

-2y=-70

y=35

把y=35代入②得

x=-80

是方程组的解

y=35

拓展解法

解题方法

二元一次方程常用解法解法一般来说有两种:

1.代入消元法:2,加减消元法.

这两种解法在初中数学教科书中有详细叙述这里就不在说了,

我们来看一下教科书中没有的,但比较适用的几种解法

(一)加减-代入混合使用的方法.