证明：f（x）＝x／（x²＋1）是R上的有界函数。
2023-04-28
问题描述：
证明f（x）＝x／（x²＋1）是R上的有界函数
最佳答案：
方法一：
(1)
x=0时，f(x)=0/(0+1)=0
(2)
x≠0时，f(x)=x/(x²+1)=1/(x+1/x)
x＜0时，x+1/x ≤-2
x＞0时，x+1/x ≥2
∴1/(x+1/x)属于【-1/2，0)，(0，1/2】
综上，f(x)属于【-1/2，1/2】
∴ f(x)=x/(x²+1)是R上的有界函数。
方法二：
已知函数 f(x)=x/(1+x²) 的定义域为R。
利用基本不等式a>0，b>0时，a²+b²≥2ab 可得，
当x≠0时， |f(x)|=|x|/(1+|x|²)≤|x|/2(1·|x|)=1/2
又|f(0)|=0<1/2
∴当x∈R时总成立|f(x)|≤1/2
故函数f(x)在定义域内有界。
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